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2018中考数学知识点:三角形的重心公式证明

2020-03-25 09:04:55

  重心是三角形三边中线的交点,三线交一点可用燕尾定理来证明。

  三角形的重心

  已知:△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。求证:F为AB中点。

  证明:根据燕尾定理,S(△AOB)=S(△AOC),又S(△AOB)=S(△BOC),∴S(△AOC)=S(△BOC),再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。

  重心的几条性质:

  1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

  2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

  3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

  4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标:(Z1+Z2+Z3)/3

  5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

  如果用塞瓦定理证,则极易证三条中线交于一点。

  如图,在△ABC中,AD、BE、CF是中线

  则AF=FB,BD=DC,CE=EA

  ∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

  ∴AD、BE、CF交于一点

  即三角形的三条中线交于一点

  其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题,而是综合图形知识要领,这就需要大家准确的分析了。

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