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2019中考数学知识点:相似三角形

2020-03-25 04:01:53

相似三角形

  1、相似三角形的概念

  对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示,读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。

  2、相似三角形的基本定理

  平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。

      


  用数学语言表述如下:

  ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC

  相似三角形的等价关系:

  (1)反身性:对于任一△ABC,都有△ABC∽△ABC;

  (2)对称性:若△ABC∽△A’B’C’,则△A’B’C’∽△ABC

  (3)传递性:若△ABC∽△A’B’C’,并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’,则△ABC∽△A’’B’’C’’。


  3、三角形相似的判定

  (1)三角形相似的判定方法

  ①定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似

  ②平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

  ③判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简述为两角对应相等,两三角形相似。

  ④判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。

  ⑤判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简述为三边对应成比例,两三角形相似

  (2)直角三角形相似的判定方法

  ①以上各种判定方法均适用

  ②定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

  ③垂直法:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

  4、相似三角形的性质

  (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例

  (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

  (3)相似三角形周长的比等于相似比

  (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。


  5、相似多边形

  (1)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比(或相似系数)

  (2)相似多边形的性质

  ①相似多边形的对应角相等,对应边成比例

  ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比

  ③相似多边形中的对应三角形相似,相似比等于相似多边形的相似比

  ④相似多边形面积的比等于相似比的平方

  6、位似图形

  如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时的相似比叫做位似比。

  性质:每一组对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比都等于位似比。

  由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

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